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In der Thermodynamik wird eine Zustandsänderung eines Systems, in der für Druck p {\displaystyle p} und spezifisches Volumen v {\displaystyle v} die Gleichung p v n = c o n s t {\displaystyle pv^{n}=\mathrm {const} } gilt, als polytrop bezeichnet. Der Exponent n {\displaystyle n} wird Polytropenexponent genannt. Bei technischen Vorgängen kann der Polytropenexponent als konstant angesehen werden.cite-ref-bosniakovic-1-0[1] Eine Polytrope nimmt im p-v-Diagramm die Form einer Potenzfunktion mit negativer Steigung an.

Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung sind:

• n = 0 {\displaystyle n=0} : isobar

• n = 1 {\displaystyle n=1} : isotherm

• n = ∞ ∞ {\displaystyle n=\infty } : isochor

• n = κ κ = c p c v {\displaystyle n=\kappa ={\frac {c_{\mathrm {p} }}{c_{\mathrm {v} }}}} : isentrop oder auch adiabat-reversibel

Die einem Gas während dieser Zustandsänderung zugeführte Wärme ist gegeben durch:cite-ref-2[2]

Q 12 = m c v n − − κ κ n − − 1 ( T 2 − − T 1 ) {\displaystyle Q_{12}=m\ c_{\mathrm {v} }{\frac {n-\kappa }{n-1}}\ (T_{2}-T_{1})}

Dabei bezeichnet m {\displaystyle m} die Masse, T 1 {\displaystyle T_{1}} und T 2 {\displaystyle T_{2}} Anfangs- und Endtemperatur des Prozesses. Die Polytropie zeichnet sich durch eine feste Wärmekapazität aus, welche sich aus c p {\displaystyle c_{\mathrm {p} }} , c v {\displaystyle c_{\mathrm {v} }} und n {\displaystyle n} ergibt.

Man spricht auch von polytroper Zustandsgleichung:

p = K ⋅ ⋅ ρ ρ n {\displaystyle p=K\cdot \rho ^{n}}

mit dem Druck p {\displaystyle p} , der Dichte ρ ρ {\displaystyle \rho } , der Polytropenkonstante K {\displaystyle K} und dem Polytropenexponenten n {\displaystyle n} . (Gelegentlich wird auch der Polytropenindex m {\displaystyle m} durch n = 1 + 1 m {\displaystyle n=1+{\frac {1}{m}}} eingeführt.cite-ref-3[3]). Sie findet zum Beispiel Anwendung in der Astrophysik (Lane-Emden-Gleichung).

• Ideale Gase

• Literatur

• Einzelnachweise

• Siehe auch

Für ideale Gase gelten außerdem folgende Beziehungen:

T 2 T 1 = ( p 2 p 1 ) n − − 1 n = ( V 1 V 2 ) n − − 1 {\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}=\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {n-1}{n}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n-1}} bzw.

p 2 p 1 = ( T 2 T 1 ) n n − − 1 = ( V 1 V 2 ) n {\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {n}{n-1}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n}}

mit

T {\displaystyle T} : absolute Temperatur

p {\displaystyle p} : Druck

V {\displaystyle V} : Volumen

n {\displaystyle n} : Polytropenexponent.

Bei der isentropen Zustandsänderung eines idealen Gases gilt n = c p / c v {\displaystyle n=c_{\mathrm {p} }/c_{\mathrm {v} }} . Mit der isobaren Wärmekapazität c p {\displaystyle c_{\mathrm {p} }} und der isochoren Wärmekapazität c v {\displaystyle c_{\mathrm {v} }} . Bei zweiatomigen Gasen kann n = 1,403 {\displaystyle n=1{,}403} (beispielsweise Luft als Gasgemisch) und bei einatomigen Gasen (Edelgasen) n = 1 , 66 {\displaystyle n=1{,}66} angesetzt werden.

• Andreas Heintz: Gleichgewichtsthermodynamik. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-39676-2, S. 192–195.

• Andreas Müller: Polytrop. In: Lexikon der Astronomie. 2014 (spektrum.de).

• Dieter Winklmair - Energie- und Wärmetechnik (Skript, PDF) (1,08 MB)

cite-note-bosniakovic-11. ↑ Fran Bosniakovic, "Technische Thermodynamik", 7. Auflage, Steinkopf-Verlag Darmstadt; Kapitel 4.5 "Polytrope Zustandsänderung"

cite-note-22. ↑ Peter Stephan u. a.: Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen, Bd. 1: Einstoffsysteme. 18. Aufl. Springer, Berlin 2013, S. 115, ISBN 3-642-30097-9.

cite-note-33. ↑ Polytrop. In: Lexikon der Astronomie. (spektrum.de).

Wiktionary: polytrop

– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Thermische Zustandsgleichung idealer Gase